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Title:聽QSym, AntiQSym, SuperQSym et les quotients associ茅s.

础产蝉迟谤补肠迟:听Il y a quelques ann茅es, avec Fran莽ois et Jean-Christophe Aval, nous avions 茅tudi茅 le quotient de l鈥檃nneau des polyn么mes en n variables (commutatives) par l鈥檌d茅al engendr茅 par les polyn么mes quasisym茅triques. Nous avions obtenu comme joli r茅sultat que la dimension de ce quotient est donn茅e par le nombre de Catalan C_n. Par la suite, nous avions 茅tendu notre 茅tude au cas des polyn么mes quasisym茅triques diagonaux (en deux jeux de variables commutatives) et propos茅 une conjecture 茅l茅gante 脿 propos de la s茅rie de Hilbert bigradu茅e du quotient associ茅e. Cette conjecture n鈥檈st d鈥檃illeurs toujours pas r茅solue.

R茅cemment, notre groupe de recherche 脿 l鈥檌nstitut Fields a amorc茅 l鈥檈xtension de ce type de probl茅matique au contexte de variables 芦anticommutatives禄. Mike Zabrocki y a 茅nonc茅 une conjecture affirmant que le quotient des polyn么mes en deux jeux de variables (l'un commutatif et l'autre anticommutatif) par l鈥檌d茅al des fonctions diagonalement sym茅triques admet une description en termes de compositions d鈥檈nsembles. Il vaut la peine de souligner que, si on ajoute un second jeu de variables commutatives (pour avoir alors trois jeux de variables), l鈥櫭﹖ude de l'espace quotient r茅sultant devient li茅e 脿 la fameuse conjecture delta. Tout ceci est fascinant, mais beaucoup plus difficile 脿 d茅montrer qu鈥檌l nous semblait au d茅part, et demeure donc non-r茅solu pour l'instant. Je vais d鈥檃bord pr茅senter le r茅sultat que nous avons obtenu pour le cas des polyn么mes quasisym茅triques avec un seul jeu de n variables anticommutatives. Je soulignerai ensuite 脿 quel point la structure de l鈥檌d茅al concern茅 est plus intrigante que celle correspondant au cas sym茅trique. Puis je montrerai comment la description du quotient est tr猫s jolie. Enfin, je discuterai du cas 芦SuperQSym禄 de deux jeux de variables (l'un commutatif et l'autre anticommutatif). Ce travail en cours est en collaboration avec Kelvin Chan, Yohana Solomon, Farhad Soltani et Mike Zabrocki; tous du groupe de combinatoire alg茅brique au Fields.