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Title: Biais pour les premiers successifs dans les progressions arithmétiques. 

Abstract: En utilisant les modèles standards de distribution des nombres premiers bases sur le hasard, nous sommes amenés à penser que pour des entiers positifs a, b, q tels que (a,q) = (b,q) = 1, le nombre de premiers p ≤ x tels que

1. p ≡ a mod q et 2. le premier suivant est ≡ b mod q est asymptotique à π(x)/φ(q)², où π(x) est le nombre de premiers ≤ x . Cependant, les donnees numériques montrent un fort biais contre le cas a = b. Lors de travaux récents, Lemke Oliver et Soundararajan expliquent comment un modèle basé sur la conjecture des nombres premiers jumeaux et ses genéralisations conduit à un asymptotique avec le terme principal tel que conjecturé, et avec un terme secondaire qui explique le biais et les données numériques. Nous présenterons les idées principales de leurs travaux, et nous expliquerons comment le même biais se produit dans d’autres sous-ensembles d’entiers que les nombres premiers, comme le sous-ensemble d’entiers qui s’écrivent comme une somme de deux carrés. Il est intéressant de noter que l’asymptotique de ces entiers n = x² + y² faisait partie de la toute première lettre que Ramanujan à écrite à Hardy. Cet exposé est destiné à un public général.

En utilisant les modèles standards de distribution des nombres premiers bases sur le hasard, nous sommes amenés à penser que pour des entiers positifs a, b, q tels que (a,q) = (b,q) = 1, le nombre de premiers p ≤ x tels que

1. p ≡ a mod q et 2. le premier suivant est ≡ b mod q est asymptotique à π(x)/φ(q)², où π(x) est le nombre de premiers ≤ x . Cependant, les donnees numériques montrent un fort biais contre le cas a = b. Lors de travaux récents, Lemke Oliver et Soundararajan expliquent comment un modèle basé sur la conjecture des nombres premiers jumeaux et ses genéralisations conduit à un asymptotique avec le terme principal tel que conjecturé, et avec un terme secondaire qui explique le biais et les données numériques. Nous présenterons les idées principales de leurs travaux, et nous expliquerons comment le même biais se produit dans d’autres sous-ensembles d’entiers que les nombres premiers, comme le sous-ensemble d’entiers qui s’écrivent comme une somme de deux carrés. Il est intéressant de noter que l’asymptotique de ces entiers n = x² + y² faisait partie de la toute première lettre que Ramanujan à écrite à Hardy. Cet exposé est destiné à un public général.

Salle Z-300 du pavillon Claire-McNicoll de l'Université de Montréal